写在前面

在家憋的已经快要疯了,正好好久不发文章了,索性把这些天对红黑树的总结梳理一下总结成这篇文章。图挺多的(都是一点一点画的啊...),代码如果看不下去,理解下原理就好了。顺便安利一下YouTube的一个up主(该这么叫?),Tushar Roy,他的视频相对更简单,更好懂。下面开始正文,不多废话。

红黑树的特点

  • 根结点是黑色的
  • 如果一个节点是红色的,那么他的两个子节点必然是黑色的。(也就是不能有R-R的父子关系, 下文中R-R皆指的是这种关系)
  • 从根节点到每个叶子节点的路径上都有相同个数的黑色节点。

知识铺垫

旋转

树的旋转其实很简单,目的就是改变树的原有结构。左旋和右旋可以当作是一个相反的过程,先看下图:

左旋

经过左旋后

右旋

经过旋转后

然后看下代码:

_rotateLeft(node) {
  let rightNode = node.right;
  let rightNodeLeft = rightNode.left;
  node.right = rightNodeLeft;
  if (rightNodeLeft) rightNodeLeft.parent = node;
  rightNode.left = node;
  if (node.parent) {
    if (node.parent.left === node) {
      node.parent.left = rightNode;
    } else {
      node.parent.right = rightNode;
    }
    rightNode.parent = node.parent;
  } else {
    // 如果当前进行旋转的节点是根结点,重新设置。
    this.root = rightNode;
    rightNode.parent = null;
  }
  node.parent = rightNode;
}
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插入

这里暂且不谈与红黑树相关的东西。插入的操作很简单,找到合适的位置,生成一个新的节点即可。

简单点的代码写一下

insert(val) {
  let node = this.root;
  while (node) {
    if (node.val > val) {
      if (!node.left) {
        node.left = new TreeNode(val);
      } else {
        node = node.left;
      }
    } else if (node.val < val) {
      if (!node.right) {
        node.right = new TreeNode(val);
      } else {
        node = node.right;
      }
    } else return;
  }
}

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删除

也先不谈红黑树的特点。树的删除相对插入会复杂一点,主要分两种情况:

  1. 如果目标节点缺失左节点或者右节点,直接用他的子节点(或者null)替换他当前的位置
  2. 如果不缺失子节点的话,步骤如下:
  3. 找出右子树的最小值(或者左子树的最大值),将目标节点的值设置为这个值。
  4. 既然这个值已经是最大值或者最小值了,那么他肯定是缺失子节点的,重复第一种情况即可。

简单的代码:

_remove(val, node) {
  if (node === null) return null;
  if (node.val > val) {
    node.left = this._remove(val, node.left);
  } else if (node.val < val) {
    node.right = this._remove(val, node.right);
  } else {
    let newVal = this._findMin(node.right); // 选择右子树的最小值
    node.val = newVal;
    node.right = this._remove(newVal, node.right);
  }
}

remove(val) {
  this.root = this._remove(val, this.root);
}
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重头戏

接下来,我们来说一下红黑树在插入删除之后,如果破坏了红黑树的特点,如何去修复。

插入后红黑树性质的恢复

我们首先需要要找到插入节点的位置,找到了之后生成新节点,除了第一次插入,每次新插入的节点都是红色的。

let t = this.root;
let p = null;
while (t) {
  p = t;
  if (t.val < val) {
    t = t.right;
  } else if (t.val > val) {
    t = t.left;
  } else return;
}
let node = new RedBlackTreeNode(val);
node.parent = p;
if (p === null) {
  this.root = node;
} else if (p.val < node.val) {
  p.right = node;
} else {
  p.left = node;
}
node.color = RED;
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接下来开始修复的过程:

  • 如果新生成的节点的父节点是黑色的,那么此次插入操作结束,因为这样肯定是不会破坏红黑树性质的。
  • 如果新生成的节点的父节点是红色的,那么破坏了红黑树不能有R-R关系的性质,所以需要进行修复

现在我们需要一个指针,这个指针初始将指向当前的新节点,也就是出现问题的节点通过一个while循环不断的从底层向上排,直到到达根结点或者当前的节点的父节点是黑色的,同时在循环的过程中需要根据情况来进行操作:

如果指针指向的节点的叔节点是红色的,我们需要将当前节点的父节点以及叔节点设置黑色,然后讲爷爷节点设置成红色,然后将问题的指针移动到爷爷节点上

在经过操作后

如果指针指向的节点的叔节点是黑色的,这种情况下如果叔叔节点和父节点在同一侧的话,即都在左侧或者右侧,旋转父节点,同时指针移动到父节点,进入下一次while循环;

操作之后

如果叔叔节点和父节点不在同一个侧的话,旋转爷爷节点,并且将爷爷节点设置成红色,父节点设置成黑色,指针保持不变,下一次循环条件不符合,结束循环

然后

insertFix(node) {
  while (node.parent && node.parent.color !== BLACK) {
    if (node.parent === node.parent.parent.left) {
      let uncleNode = node.parent.parent.right;
      // 如果叔叔节点的颜色是红色
      if (uncleNode && uncleNode.color === RED) {
        node.parent.color = BLACK;
        uncleNode.color = BLACK;
        node.parent.parent.color = RED;
        node = node.parent.parent;
      } else if (node === node.parent.right) {
        // 如果叔叔节点和父节点不在同一侧
        node = node.parent;
        this._rotateLeft(node);
      } else {
        // 如果叔叔节点和父节点在同一侧
        node.parent.color = BLACK;
        node.parent.parent.color = RED;
        this._rotateRight(node.parent.parent);
      }
    } else {
      // 镜像操作
      let uncleNode = node.parent.parent.left;
      if (uncleNode && uncleNode.color === RED) {
        node.parent.color = BLACK;
        uncleNode.color = BLACK;
        node.parent.parent.color = RED;
        node = node.parent.parent;
      } else if (node === node.parent.left) {
        node = node.parent;
        this._rotateRight(node);
      } else {
        node.parent.color = BLACK;
        node.parent.parent.color = RED;
        this._rotateLeft(node.parent.parent);
      }
    }
  }
  // 在循环结束后,将根结点设置成黑色
  this.root.color = BLACK;
}
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删除后红黑树性质的恢复

删除操作之后的恢复会更复杂,我们仍需要一个指针指向一个节点,通过循环不断将问题向上排,直到到达根结点,或者红色节点,在循环的过程中碰到的情况通过总结后大致可分为两种情况

可直接恢复

1.1 指针指向的节点为黑色,父节点为红色,且兄弟节点为黑色。

此时我们需要做的就是将父节点设置为红色,将兄弟节点设置为黑色,然后将指针指向根结点即可。

1.2 当前节点为父节点的左(右)节点,兄弟节点为黑色,且兄弟节点的右(左)节点为红色:

此时我们把兄弟节点设置为父节点的颜色,然后父节点设置为黑色,兄弟节点的右(左)节点设置为黑色,同时对父节点进行左旋,然后指针指向根结点即可。

不可直接恢复

那我们需要做的就是将这种情况变成上述可直接回复的情况,也分以下几种情况:

2.1 兄弟节点为红色(父节点必为黑色)

如果当前节点是父节点的左(右)节点,那么将父节点进行左(右)旋,同时兄弟节点设置为黑色,父节点设置为红色,指针保持不变,进入下一轮循环

2.2 兄弟节点为黑色,父节点为黑色,且兄弟节点的子节点都为黑色(null也视为黑色)

将兄弟节点设置为红色,指针指向父节点,进入下一轮循环。

2.3 当前节点为父节点的左(右)节点,兄弟节点为黑色,且兄弟节点的右(左)节点为黑色,兄弟节点的左(右)节点为红色:

将兄弟节点设置为红色,兄弟节点的左(右)节点设置为黑色,同时将兄弟节点进行右(左)旋转,指针保持不变,进入下一轮循环,也就变成了1.2的情况。

然后上代码

_removeFix(node) {
  let nodeRef = node;
  while (node !== this.root && node.color === BLACK) {
    if (node.parent.left === node) {
      let brotherNode = node.parent.right;
      if (brotherNode.color === RED) { 
        // 2.1
        brotherNode.color = BLACK;
        node.color = BLACK;
        node.parent.color = RED;
        this._rotateLeft(node.parent);
      } else if (
        (!brotherNode.left || brotherNode.left.color === BLACK)
        &&
        (!brotherNode.right || brotherNode.right.color === BLACK)
      ) {
        if (node.parent.color === RED) {
          // 1.1
          brotherNode.color = RED;
          node.parent.color = BLACK;
          node = this.root;
        } else {
          // 2.2
          brotherNode.color = RED;
          node = node.parent;
        }
      } else if (brotherNode.left.color === RED && brotherNode.right.color === BLACK) {
        // 2.3
        this._rotateRight(brotherNode);
        brotherNode.color = RED;
        brotherNode.parent.color = BLACK;
      } else if (brotherNode.right.color === RED) {
        // 1.2
        brotherNode.color = node.parent.color;
        node.parent.color = BLACK;
        brotherNode.right.color = BLACK;
        this._rotateLeft(node.parent);
        node = this.root;
      }
    } else {
      // 以下镜像操作
      let brotherNode = node.parent.left;
      if (brotherNode.color === RED) {
        brotherNode.color = BLACK;
        node.color = BLACK;
        node.parent.color = RED;
        this._rotateRight(node.parent);
      } else if (
        (!brotherNode.left || brotherNode.left.color === BLACK)
        &&
        (!brotherNode.right || brotherNode.right.color === BLACK)
      ) {
        if (node.parent.color === RED) {
          brotherNode.color = RED;
          node.parent.color = BLACK;
          node = this.root;
        } else {
          brotherNode.color = RED;
          node = node.parent;
        }
      } else if (brotherNode.right.color === RED && brotherNode.left.color === BLACK) {
        this._rotateLeft(brotherNode);
        brotherNode.color = RED;
        brotherNode.parent.color = BLACK;
      } else if (brotherNode.left.color === RED) {
        brotherNode.color = node.parent.color;
        node.parent.color = BLACK;
        brotherNode.left.color = BLACK;
        this._rotateRight(node.parent);
        node = this.root;
      }
    }
  }
  node.color = BLACK;
  this._removeNode(nodeRef);
}
复制代码

各位看官辛苦

附上代码地址

武汉加油,中国加油

参考: